Categories: Thông tin

Công thức Heron – Wikipedia tiếng Việt

a, b, và c.Một tam giác với ba cạnh, và

Trong hình học, Công thức Heron là công thức tính diện tích của một tam giác theo độ dài 3 cạnh.[1]

Gọi S là diện tích và độ dài 3 cạnh tam giác lần lượt là a, b, và c.

S
=

p

(

p

a

)

(

p

b

)

(

p

c

)

{\displaystyle S={\sqrt {p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}}

với p là nửa chu vi của tam giác:

p = a + b + c 2 { \ displaystyle p = { \ frac { a + b + c } { 2 } } }

Công thức Heron còn hoàn toàn có thể được viết :

S = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) 4 { \ displaystyle S = { \ { \ sqrt { ( a + b + c ) ( a + b-c ) ( b + c-a ) ( c + a-b ) \, } } \ \ over 4 } }
S = 2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4 { \ displaystyle S = { \ { \ sqrt { 2 ( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + a ^ { 2 } c ^ { 2 } + b ^ { 2 } c ^ { 2 } ) – ( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + c ^ { 4 } ) \, } } \ \ over 4 } }
S = ( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 ) 4. { \ displaystyle S = { \ { \ sqrt { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ^ { 2 } – 2 ( a ^ { 4 } + b ^ { 4 } + c ^ { 4 } ) \, } } \ \ over 4 }. }

Công thức này mang tên nhà toán học Heron của Alexandria, và cách chứng minh có thể tìm thấy trong cuốn sách của ông, Metrica, được viết vào khoảng năm 60 sau công nguyên. Có lẽ Archimedes đã biết công thức này, bởi vì Metrica là tuyển tập các kiến thức toán học có sẵn ở thế giới cổ đại. Vì thế, cuốn sách này có lẽ là nguồn tham khảo của thời kì trước.[2]

Một công thức tương tự với Heron có nội dung :

A = 1 2 a 2 c 2 − ( a 2 + c 2 − b 2 2 ) 2 { \ displaystyle A = { \ frac { 1 } { 2 } } { \ sqrt { a ^ { 2 } c ^ { 2 } – \ left ( { \ frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } – b ^ { 2 } } { 2 } } \ right ) ^ { 2 } } } }

được phát hiện bởi người Trung Quốc độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản trong cuốn sách Sổ thư cửu chương, được viết bởi Tần Cửu Thiều và xuất bản vào năm 1247 sau công nguyên .

Một cách chứng minh hiện đại, bằng cách sử dụng đại số và lượng giác và khá lạ so với cách chứng minh của Heron. Gọi a, b, c lần lượt là 3 cạnh của tam giác và A, B, C lần lượt là các góc đối diện của các cạnh. Theo hệ quả định lý cosin, ta có:

cos ⁡ ( C ) = a 2 + b 2 − c 2 2 a b { \ displaystyle \ cos ( C ) = { \ frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } } { 2 ab } } }

Từ đó :

sin ⁡ ( C ) = 1 − cos 2 ⁡ ( C ) = 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 2 a b { \ displaystyle \ sin ( C ) = { \ sqrt { 1 – \ cos ^ { 2 } ( C ) } } = { \ frac { \ sqrt { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } – ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } { 2 ab } } }

Dựa vào đường cao và sin của góc C. Ta có công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC :

S { \ displaystyle S \, }
= 1 2 a b sin ⁡ ( C ) { \ displaystyle = { \ frac { 1 } { 2 } } ab \ sin ( C ) }
= 1 4 4 a 2 b 2 − ( a 2 + b 2 − c 2 ) 2 { \ displaystyle = { \ frac { 1 } { 4 } } { \ sqrt { 4 a ^ { 2 } b ^ { 2 } – ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } }
= 1 4 ( 2 a b − ( a 2 + b 2 − c 2 ) ) ( 2 a b + ( a 2 + b 2 − c 2 ) ) { \ displaystyle = { \ frac { 1 } { 4 } } { \ sqrt { ( 2 ab – ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } ) ) ( 2 ab + ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } ) ) } } }
= 1 4 ( c 2 − ( a − b ) 2 ) ( ( a + b ) 2 − c 2 ) { \ displaystyle = { \ frac { 1 } { 4 } } { \ sqrt { ( c ^ { 2 } – ( a-b ) ^ { 2 } ) ( ( a + b ) ^ { 2 } – c ^ { 2 } ) } } }

=

1
4

(
c

(
a

b
)
)
(
(
c
+
(
a

b
)
)
(
(
a
+
b
)

c
)
)
(
(
a
+
b
)
+
c
)

{\displaystyle ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))((c+(a-b))((a+b)-c))((a+b)+c)}}}


= p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ). { \ displaystyle = { \ sqrt { p \ left ( p-a \ right ) \ left ( p-b \ right ) \ left ( p-c \ right ) } }. }

Tới đây công thức đã được chứng tỏ .

  • Heath, Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics (Vol II). Oxford University Press. tr. 321–323.

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Source: https://vn.exp.gg
Category: Thông tin

Recent Posts

Tầm nhìn đầy tham vọng của Hideo Kojima: Tạo ra những trò chơi gây ấn tượng với người ngoài hành tinh

Nhà sáng tạo trò chơi điện tử nổi tiếng Hideo Kojima được nhiều game thủ…

3 tuần ago

Chính thức rồi! Sự kết hợp giữa Magic: The Gathering và Final Fantasy vào năm 2025

Gần đây, Square Enix đã công bố một dự án hợp tác thú vị với…

3 tuần ago

Giá của Assassin’s Creed Shadows Collector’s Edition bất ngờ giảm

Kể từ khi trò chơi được công bố chính thức, nó đã bị bao phủ…

4 tuần ago

Nhà phát triển Tekken 8 xin lỗi và chấp nhận lời chỉ trích của game thủ

Nhà phát triển của Tekken 8 đã xin lỗi và chấp nhận những ý kiến…

4 tuần ago

Các game thủ đối mặt với thử thách từ Great Ape Vegeta trong trò chơi Dragon Ball Sparking! Zero

Trò chơi Dragon Ball mới nhất, có tên gọi Dragon Ball Sparking! Zero, đã được…

1 tháng ago

Thổ Nhĩ Kỳ Cấm Ứng Dụng Discord Theo Sau Nga

Xu hướng cấm ứng dụng Discord tại một số quốc gia đang tiếp diễn. Sau…

1 tháng ago