Đường Trung Trực Là Gì? Lý Thuyết Và Bài Tập ứng Dụng Về đường Trung Trực | Lessonopoly

Định nghĩa về đường trung trực được đề cập trong kiến thức toán học lớp 7. Tổng quát lại định nghĩa đường trung trực là gì và những dạng toán thường gặp về đường trung trực để các bạn tham khảo và ôn lại kiến thức cơ bản nào. 

Định nghĩa đường trung trực là gì? 

Trong hình học phẳng, đường trung trực của một đoạn thẳng là đường vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

[external_link_head]

Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng gọi là đường trung trực của đoạn thẳng ấy.

Đường thẳng d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB là đường trung trực.

Định lý 1

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Giả thiết:

• d là trung trực của đoạn thẳng AB.
• M thuộc d

Kết luận:

• MA = MB

Điểm M, I thuộc đường trung trực d của AB.

[external_link offset=1]

Định lý 2

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. 

Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Đường trung trực trong tam giác

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh là đường trung trực của tam giác đó.

Tính chất đường trung trực của tam giác

– Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Điểm O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC.

Ta có: OA = OB = OC

– Giao điểm của ba đường trung trực của một tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Khi đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

– Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó.

– Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực chính là trung điểm của cạnh huyền. Tam giác ABC vuông tại B. Khi đó, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm E của cạnh huyền AC.

Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng

Để chứng minh đường thẳng d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB cho trước, ta cần chứng minh d chứa hai điểm cách đều A và B hoặc có thể sử dụng định nghĩa đường trung trực.

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Để giải dạng toán này, ta cần dùng định lý sau: “Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng thì sẽ cách đều hai mút của đoạn thẳng đó”.

Dạng 3: Bài toán về giá trị nhỏ nhất

– Sử dụng tính chất của đường trung trực nhằm thay độ dài của đoạn thẳng thành độ dài của đoạn thẳng khác bằng với nó. 

– Sử dụng bất đẳng thức của tam giác để tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 4: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Sử dụng tính chất giao điểm các đường trung trực của tam giác. 

– Định lý: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Dạng 5: Bài toán về đường trung trực trong tam giác cân

Chú ý rằng trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác ứng với cạnh đáy này.

Dạng 6: Bài toán về đường trung trực trong tam giác vuông

Chú ý rằng trong tam giác vuông, giao điểm các đường trung trực là trung điểm cạnh huyền.

[external_link offset=2]

Một số câu hỏi hay gặp về đường trung trực của đoạn thẳng

Số đường trung trực trong một đoạn thẳng?

Vì đường trung trực là đường thẳng đi qua trung điểm và vuông góc với đoạn thẳng. Mà mỗi đoạn thẳng chỉ có duy nhất một điểm là trung điểm cho nên mỗi đoạn thẳng có duy nhất 1 đường trung trực.

Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng

Khi tìm hiểu về định nghĩa đường trung trực của đoạn thẳng, ta cũng cần biết cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng như sau:

Bước 1. Ta tìm vectơ pháp tuyến của đường trung trực và một điểm mà nó đi qua.

Bước 2. Ta dựa vào định lý 1: “Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. Nghĩa là nếu điểm M thuộc đường thẳng AB thì thì MA = MB.

Ví dụ: Cho hai điểm A(1;0) và B(1;2). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Một số bài tập về đường trung trực

Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Hai trung tuyến BM, CN cắt nhau tại I. Hai tia phân giác trong của góc B và C cắt nhau tại O. Hai đường trung trực của 2 cạnh AB và AC cắt nhau tại K.

1. a) Chứng minh: BM = CN.
2. b) Chứng minh OB = OC.
3. c) Chứng minh các điểm A,O, I, K thẳng hàng.

Bài 2. Trên đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng AB lấy điểm M, N nằm ở hai nữa hai mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng AB.

1. a) Chứng minh góc MAN = góc MBN.
2. b) MN là tia phân giác của AMB.

Bài 3. Cho góc xOy = 50, điểm A nằm trong góc xOy. Vẽ điểm M sao cho Ox là trung trực của đoạn AN, vẽ điểm M sao cho Oy là trung trực của đoạn AM.

1. a) Chứng minh: OM = ON.
2. b) Tính số đo góc MON.

Bài 4. Cho 2 điểm A và B nằm trên cùng một mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Vẽ điểm C sao cho d là trung trực của đường thẳng BC, AC cắt d tai E. Trên d lấy điểm M bất kỳ.

1. a) So sánh MA + MB và AC
2. b) Tìm vị trí của M trên d để MA + MB ngắn nhất

Bài 5. Cho tam giác ABC có góc A tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

1. a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì.
2. b) Đường tròn tâm O bán kinh OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường trung trực của cạnh AC cắt BC tại I và cắt AC tại E.

1. a) Chúmg minh IA = IB = IC.
2. b) Gọi M là trung điểm của đoạn AI, chứng minh MH = ME.
3. c) BE cắt AI tại N, tính tỉ số của đoạn MN và AI.

Qua những thông tin trên, định lý về đường trung trực là gì đã được giải đáp. Hãy thử áp dụng định lý đường trung trực để giải 6 bài toán phía trên nhé. Nếu bạn giải được 6 bài toán này chứng tỏ bạn đã hiểu rõ về định lý đường trung trực rồi đó. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào hãy để lại bình luận cho chúng mình nhé.[external_footer]